单调包含、加速与闭环控制

我们提出并分析了一个希尔伯特空间$\mathcal{H}$中具有闭环控制律的新动力系统，旨在阐明\textit{单调包含}问题的加速现象，该问题在单一框架下统一了广泛的优化、鞍点与变分不等式(VI)问题。给定极大单调的$A: \mathcal{H} \rightrightarrows \mathcal{H}$，我们提出一个由算子$I - (I + \lambda(t)A)^{-1}$控制的闭环控制系统，其中反馈律$\lambda(\cdot)$由代数方程$\lambda(t)\|(I + \lambda(t)A)^{-1}x(t) - x(t)\|^{p-1} = \theta$（对某$\theta > 0$）的解来调谐。我们的首要贡献是通过Cauchy-Lipschitz定理证明全局解的存在唯一性。我们给出一个简单的Lyapunov函数，借助Opial引理建立轨道的弱收敛，并在附加条件下给出强收敛结果。随后我们证明了关于间隙函数的全局遍历收敛率$O(t^{-(p+1)/2})$以及关于残差函数的全局逐点收敛率$O(t^{-p/2})$。在误差界条件下，基于距离函数建立了局部线性收敛。进一步，我们提供了基于欧氏设定下系统隐式离散化的算法框架，推广了大体步HPE框架。尽管离散时间分析是对有界域上现有分析的简化与推广，但其很大程度上受上述连续时间分析启发，说明了闭环控制在单调包含加速中的基础作用。我们分析的一个亮点是关于单调包含问题的$p^{th}$阶张量算法的新结果，补充了近期针对鞍点与VI问题的分析。