矩母函数与归一化隐含波动率：通过 Fukasawa 定价公式的统一与扩展

我们将 [Fukasawa 2012] 中关于 $\mathbb E[\Psi(X_T)]$（其中 $X_T=\log S_T/F$ 为资产的对数价格）的无模型公式扩展至具有指数增长的函数 $\Psi$。所得的积分表示以归一化隐含波动率表示。正如 Fukasawa 的工作为对数合约（与方差互换的隐含方差相关）的 Chriss 和 Morokoff（1999）无模型公式提供了严格基础，我们在其解析域上证明了矩母函数 $\mathbb E[e^{p X_T}]$ 的表达式，该表达式包含（并扩展了）特征函数 $\mathbb E[e^{i \eta X_T}]$ 的 Matytsin 公式 [Matytsin 2000] 和 $\mathbb E[e^{p X_T}]$（$p \in [0,1]$）的 Bergomi 公式 [Bergomi 2016]。此外，我们 证明看跌-看涨对偶性将第一个归一化隐含波动率转换为第二个，并且 分析当 $p$ 位于 $[0,1]$ 之外时扩展变换 $d(p,\cdot) = p \, d_1 + (1-p)d_2$ 的可逆性。作为 的一个应用，人们可以通过在一种归一化隐含波动率与另一种之间切换，来生成 MGF（或其他收益）的表示。