修改的生长图、排列枢轴与 BXW 映射 $\phi^*$

Backelin、Xin 和 West 在他们关于单例类 Wilf 等价的论文 [1] 中引入了一个变换 $\phi^*$，该变换由迭代过程定义并作用于 Ferrers 棋盘上的（所有）满车放置。在 [3] 中，Bousquet-Mélou 和 Steingrímsson 在对合的背景下证明了 [1] 主要结果的类似结论，为此他们必须证明 $\phi^*$ 与取逆运算可交换。该交换性结果的证明冗长且困难，Bousquet-Mélou 和 Steingrímsson 提出是否可以重新表述 $\phi^*$ 以使该结果显而易见。在本文中，我们通过修改 Fomin [4,5] 的生长图算法提供了 $\phi^*$ 的这样一种重新表述。这也回答了 Krattenthaler [6, 问题 4] 的问题，他注意到由未修改的 Fomin 算法定义的双射显然与取逆运算可交换，并询问该双射与 $\phi^*$ 之间有何联系。