有界算术的模型与鸽巢原理变体

我们给出初等证明：增添了所有 $\Delta^b_1(R)$-可定义关系的弱鸽巢原理的理论 $T^1_2(R)$ 不能证明关于 $R$ 的双射鸽巢原理。这可由已知更一般的结果推出，但我们的证明给出了 $T^1_2(R)$ 的一个模型，其中对某个非标准元 $n$ 有 $ontoPHP^{n+1}_n(R)$ 不成立，而 $PHP^{m+1}_m$ 对所有 $\Delta^b_1(R)$-可定义关系以及所有 $m \leq n^{1-\epsilon}$ 成立，其中 $\epsilon > 0$ 为固定的标准有理参数。这可视为朝解决 M. Ajtai 提出的一个开放问题迈出的一步。