平行四边形折纸超材料有效弹性行为的建模与计算

由在折叠处连接的平行四边形面板重复单元构成的折纸超材料，通过其单元的集体运动极大地改变了形状。在此，我们开发了一种有效弹性模型和数值方法，以研究这些超材料在广泛载荷类别下的大变形响应。该模型建立在我们先前工作 [64] 中推导的有效板理论基础之上。该理论通过非线性几何相容性约束捕捉所有轻微受力平行四边形折纸变形的整体形状变化，这些约束将折纸的（单元平均化）有效变形与量化其逐单元驱动的辅助角度场耦合起来。它还为每个此类折纸变形分配了与这些有效场相关的板能量。为了寻求既忠实于理论又便于模拟的本构模型，我们通过相应的弹性能量惩罚放松了几何约束；我们还简化了板能量密度，以体现其作为几何惩罚正则化的本质特征。由此产生的平行四边形折纸模型是一种广义弹性连续体，在有效变形梯度和角度场上是非线性的，并由其高阶梯度进行正则化。我们使用 $C^0$ 内部惩罚方法给出了该模型的有限元公式以处理变形的二阶梯度，并使用开源计算平台 Firedrake 进行了实现。最后，我们使用该模型和数值方法研究了在多种加载条件下两种典型的平行四边形折纸图案，即 Miura 和 Eggbox 折纸。