模型不确定性随机平均场控制

我们考虑模型不确定性下平均场随机微分方程的最优控制问题。模型不确定性由时刻 $t$ 状态 $X(t)$ 的规律 $\mathcal{L}(X(t))$ 的模糊性表示。例如，它可以是关于给定的底层概率测度 $\mathbb{P}$ 的 $X(t)$ 的规律 $\mathcal{L}_{\mathbb{P}}(X(t))$。这是无模型不确定性的经典情形。但它也可以是关于其他某个概率测度 $\mathbb{Q}$ 的规律 $\mathcal{L}_{\mathbb{Q}}(X(t))$，或者更一般地，是 $\mathbb{R}$ 上总质量为 $1$ 的任意随机测度 $\mu(t)$。我们将此模型不确定性控制问题表示为一个具有两名玩家的平均场相关类型随机微分方程（SDE）的随机微分博弈。其中一名玩家代表状态规律的确定性，其控制是一个测度值随机过程 $\mu(t)$，另一名玩家的控制是一个经典的实值随机过程 $u(t)$。这种关于 $\mathbb{R}$ 上随机概率过程 $\mu(t)$ 的控制是一种此前未被研究过的新型随机控制问题。通过引入算子值倒向随机微分方程，我们得到了此类博弈在一般非零和情形下的纳什均衡的充分极大值原理，以及零和博弈的鞍点。作为一个应用，我们找到了由平均场相关类型 SDE 描述的现金流在模型不确定性下最优消费问题的显式解。