阿代尔与数论模型论

本文是一篇关于阿代尔(adeles)模型论及其在模型论、代数和数论中应用的综述。第 1–12 节涉及阿代尔的模型论，结果为与 Angus Macintyre 的合作工作。涵盖的主题包括： enriched Boolean 代数中的量词消去、受限积与阿代尔及代数簇的阿代尔空间在自然语言中的量词消去、阿代尔的可定义子集及其测度、对 Ax 1968 年关于对所有 $m>1$ 环 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 可判定性问题的解答、阿代尔中最小幂等元（或“数域的素数”）的可定义集、稳定嵌入与第二类树性质等稳定性理论概念、阿代尔环的初等等价与同构、与受限积及阿代尔初等等价的环的公理、Feferman-Vaught 定理的逆定理、与数论中 Hilbert 符号相关的阿代尔语言、阿代尔中的虚元素，以及阿代尔类空间。第 13–18 节关注围绕 zeta 积分与 $L$-函数的数论联系。受我们的阿代尔模型论启发，我提出一种针对 $GL_1$（Tate 论文）与 $GL_2$（Jacquet-Langlands 的工作）上自守形式的模型论方法，并表述若干概念、问题与疑问。主要思想是表述可构造阿代尔积分的概念，并观察到 Tate 与 Jacquet-Langlands 的积分是可构造的。这些可构造积分与模型论中的 $p$-进积分和动机积分相关。