Mittag-Leffler函数与截断 $\mathcal{V}$-分数阶导数

我们通过六参数截断Mittag-Leffler函数，为 $\alpha$-可微函数引入了一种新的导数，即所谓的截断 $\mathcal{V}$-分数阶导数，它推广了最近引入的多种分数阶导数：协调分数阶导数、替代分数阶导数、截断替代分数阶导数、$M$-分数阶导数以及截断 $M$-分数阶导数。这种新的截断 $\mathcal{V}$-分数阶导数满足整数阶微积分的性质，其中包括：线性性、乘积法则、商法则、函数复合以及链式法则。同时，与Caputo导数的情况一样，常数的导数为零。由于六参数Mittag-Leffler函数是单参数、双参数、三参数、四参数和五参数Mittag-Leffler函数的推广，我们可以扩展整数阶微积分的一些经典结果，即：Rolle定理、中值定理及其推广。此外，我们提出了涉及导数指数律的定理，并计算了双参数Mittag-Leffler函数的截断 $\mathcal{V}$-分数阶导数。最后，我们给出了 $\mathcal{V}$-分数阶积分，由此自然产生了作为应用的新结果。具体而言，我们推广了逆性质、微积分基本定理、一个与经典分部积分相关的定理，以及积分中值定理。我们还计算了双参数Mittag-Leffler函数的 $\mathcal{V}$-分数阶积分。进一步地，通过截断 $\mathcal{V}$-分数阶导数和 $\mathcal{V}$-分数阶积分，我们在 $0<\alpha<1$ 的情形下得到了与Riemann-Liouville意义下的分数阶导数和积分的关系。