时域波动方程中的 Minnaert 频率及密度、体积模与源的同时重构

我们研究时域声波模型下重构声学材料特性或/和外部源的逆向问题。传统测量包括重复的主动（或被动）探测，如 Dirichlet-Neumann 映射，或源点位于感兴趣区域外且变化的的点源。现有文献报道，基于此类测量可恢复三个参数（质量密度、体积模量或外部源项）中的部分而非全部。本工作中，我们首先向感兴趣区域注入孤立的小尺度气泡，然后在该区域外或边界的{\it{单点}}测量所产生的压力场。随后我们通过移动气泡扫描感兴趣区域来重复此类测量。利用此类测量，我们证明：1. 若质量密度或体积模量已知其一，则可同时重构另一者及源项。2. 若源项在初始时刻已知，确切地说我们假设已知其在初始时刻的首个非零时间导数，则可同时重构三个参数，即质量密度、体积模量与源函数。此处源项依赖于时空。值得指出的是，就维数而言，所诱导的逆向问题并非超定，因为我们使用 $4=3+1$ 维（$3$ 空间维与 $1$ 时间维）来恢复 $3$ 空间维的 $2$ 个系数，即质量密度与体积模量，以及 $4=3+1$ 维源函数。此外，结果是局部的，意味着我们可在感兴趣区域的任意子部分进行重构。