压缩感知中分数函数惩罚的最小化

本文研究了压缩感知中非凸稀疏促进惩罚函数 $$P_{a}(x)=\sum_{i=1}^{n}p_{a}(x_{i})=\sum_{i=1}^{n}\frac{a|x_{i}|}{1+a|x_{i}|}$$ 的最小化问题，该函数称为分数函数。首先，我们讨论了 $\ell_{0}$ 最小化与分数函数最小化的等价性。证明了存在常数 $a^{**}>0$，使得当 $a>a^{**}$ 时，$(FP_{a})$ 的每个解也是 $(P_{0})$ 的解；若感知矩阵 $A$ 满足限制等距性质 (RIP)，则 $(FP_{a})$ 的全局极小值唯一且等价于 $(P_{0})$；最重要的是，若满足特定条件，正则化问题 $(FP_{a}^\lambda)$ 的最优解也解 $(FP_{a})$，这与凸优化理论中的正则化问题类似。其次，我们研究了正则化问题 $(FP^{\lambda}_{a})$ 最优解的性质，包括一阶和二阶最优性条件，以及其非零项绝对值的上下界。最后，我们推导了参数 $a$ 为所有正值时正则化问题 ($FP_{a}^{\lambda}$) 最优解的闭式表示，并提出了一种迭代 $FP$ 阈值算法来求解正则化问题 $(FP_{a}^{\lambda})$。我们还提供了一系列实验来评估 $FP$ 算法的性能，实验结果表明，与软阈值算法和半阈值算法相比，$FP$ 算法在有无测量噪声的稀疏信号恢复中表现最佳。