着色的极小重构

有限或可数集 $X$ 上的一个着色是一个函数 $\varphi: [X]^{2} \to \{0,1\}$，其中 $[X]^{2}$ 是 $X$ 的无序对集合。$\varphi$ 的齐次集族，记作 $Hom(\varphi)$，包含所有使得 $\varphi$ 在 $[H]^2$ 上为常数的 $H \subseteq X$；显然，$Hom(\varphi) = Hom(1-\varphi)$。如果对于 $X$ 上的任何着色 $\psi$，只要 $Hom(\varphi) = Hom(\psi)$，就有 $\psi = \varphi$ 或 $\psi = 1-\varphi$，则称着色 $\varphi$ 可从其齐次集族\textit{重构至互补}。我们用 $\mathcal{R}$ 表示所有可从其齐次集族重构的着色构成的集合。设 $\varphi$ 和 $\psi$ 是 $X$ 上的着色，并定义 $$D(\varphi, \psi) = \{ \{x,y\} \in [X]^2: \; \psi\{x,y\} \neq \varphi\{x,y\}\}.$$ 若 $\varphi\not\in \mathcal{R}$，令 $$r(\varphi) = \min\{|D(\varphi, \psi)|: \; Hom(\varphi) = Hom(\psi), \, \psi \neq \varphi, \, \psi \neq 1-\varphi\}.$$ 满足 $Hom(\varphi)=Hom(\psi)$、$\varphi\neq \psi$ 且 $1-\varphi\neq \psi$ 的着色 $\psi$ 被称为 $\varphi$ 的一个{\em 非平凡重构}。此外，若 $r(\varphi) =|D(\varphi, \psi)|$，则称 $\psi$ 为 $\varphi$ 的一个{\em 极小重构}。本文旨在研究着色的极小重构。我们证明，对于足够大的 $X$，$r(\varphi)$ 只能取值 $1$ 或 $4$。