图同态重配置与冻结 $H$-着色

对固定图 $H$，$H$-着色（即到 $H$ 的同态）的重配置问题询问：给定图 $G$ 及 $G$ 的两个 $H$-着色 $\varphi$ 与 $\psi$，是否存在一列 $H$-着色 $f_0,\dots,f_m$，使得 $f_0=\varphi$、$f_m=\psi$，且对每一 $0\leq i<m$ 与 $uv\in E(G)$ 有 $f_i(u)f_{i+1}(v)\in E(H)$？若图 $G$ 无环，则这等价于询问是否可能通过一次改变一个顶点的颜色将 $\varphi$ 变为 $\psi$，且所有中间映射均为 $H$-着色。若可以，则称 $\varphi$ 可重配置到 $\psi$。目前，判定一个 $H$-着色 $\varphi$ 是否能重配置到 $H$-着色 $\psi$ 的复杂度仅当 $H$ 为团、循环团、$C_4$-自由图或少数其他易由这些推得的情形时才已知。我们证明当 $H$ 为奇轮时该问题为 PSPACE-完全。在 $H$-着色重配置问题研究中，一个重要概念是冻结 $H$-着色，即满足 $\varphi$ 不能重配置到任何 $\psi\neq \varphi$ 的 $H$-着色 $\varphi$。我们获得了判定给定图 $G$ 是否存在冻结 $H$-着色问题的显式二分定理。其困难性证明涉及从一个 CSP 问题归约，我们通过确立某类多态的不存在性证明该 CSP 问题为 NP-完全。