Complete Graph Edge-Coloring Based Minimal Permutation-Invariant Qudit Codes

我们研究了对称子空间 $\mathrm{Sym}^n(\mathbb{C}^q)$ 中 n 个局部维数为 q 的 qudit 的置换不变量子码。对于每个整数 $q\geq 2$，我们构造了一个置换不变码，其参数为 $((4,q,2))_q$。因此，仅需四个物理 qudit 即可在对称子空间中编码一个逻辑 qudit，距离为 2。我们还证明了对于 $n\leq 3$ 的置换不变码，不存在维数为 $q$ 且距离至少为 2 的码。因此，四个 qudit 是必要且充分的。该构造具有简单的数表示象。在不可约的 $\mathrm{SU}(q)$-模块 $\mathrm{Sym}^4(\mathbb{C}^q)$ 中，距离为 2 的 Knill-Laflamme 条件分为根部与 Cartan 部分。通过限制支持到偶条占据层，所有根错误条件自动消失。剩余的 Cartan 条件化简为占据向量包的线性平衡约束。这些包在 $K_q$ 的顶点与边之间天然地具有图论解释：对于奇数 $q$，它们由中点规则组织；对于偶数 $q$，它们由 $K_q$ 的完美匹配分解组织。如此， $((4,q,2))_q$ 置换不变量子码的存在性化简为 $K_q$ 上的奇偶相关边着色问题。