Banach 空间中的度量投影算子和广义投影算子：性质与应用

度量投影算子可以在 Hilbert 空间和 Banach 空间中以类似方式定义。同时，它们的性质存在显著差异。Hilbert 空间中的度量投影算子是单调且非扩张的算子。它通过凸闭集的元素为 Hilbert 空间中的任意元素提供绝对最佳逼近。这导致了该算子在分析中的理论问题研究和逼近方法中的各种应用。Banach 空间中的度量投影算子不具备上述性质，其应用并非直接了当。度量投影算子方法的两个最重要应用如下：1. 用迭代投影法求解变分不等式，2. 用迭代投影法寻找凸集的公共点。在 Banach 空间中，这些问题无法在度量投影算子的框架内解决。因此，在本文中，我们引入 Banach 空间中的新广义投影算子，作为 Hilbert 空间中度量投影算子的自然推广。在第 2 和第 3 节中，我们介绍记号并回顾变分不等式理论和逼近理论的一些结果。然后在第 4 和第 5 节中，我们描述 Hilbert 和 Banach 空间中度量投影算子 $P_\Omega$ 的性质，并阐述变分不等式与直接投影方程之间的等价定理。