分数阶 Allen-Cahn 方程中的亚稳态速度

我们在具有齐次诺伊曼边界条件的区间上数值研究了带谱分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{\alpha/2}$ 的一维 Allen-Cahn 方程。我们尤其关注尖锐界面相互接近并湮灭的速度。已知该过程在经典拉普拉斯算子情形下是指数级缓慢的。此处我们研究若改变分数阶拉普拉斯算子的指数 $\alpha$，界面的宽度和速度如何变化。对于实直线上的关联模型，我们推导了关于界面速度和碰撞时间依 $\alpha$ 与缩放参数 $\varepsilon$ 的渐近公式。我们采用基于将分数阶拉普拉斯算子扩展到上半平面中柱体的有限元方法进行数值计算，并算得 $\alpha\in(0.2,2]$ 时的界面速度、塌缩时间与界面宽度。比较表明，界面速度与碰撞时间的渐近公式对大区间给出了良好近似。