具有动态替代路由的丢失网络中的亚稳态

考虑 $N$ 个站点通过链路互连，每条链路容量为 $K$，构成完全图。呼叫以速率 $\lambda$ 到达每条链路，并以速率 $1$ 离开。若呼叫到达连接站点 $x$ 和 $y$ 的链路 $x y$ 时该链路已满，则均匀随机选取第三站点 $z$ 并尝试经 $z$ 路由该呼叫：若链路 $x z$ 和 $z y$ 均有空闲容量，则呼叫同时占用这两条链路；否则呼叫丢失。我们分析该模型的一个近似。我们严格证明依据流量强度 $\alpha := \lambda/K$ 存在三个阶段：对于 $\alpha \in (0,\alpha_c) \cup (1,\infty)$，系统的混合时间与链路数 $n := \binom N2$ 成对数关系；对于 $\alpha \in (\alpha_c,1)$，系统的混合时间与 $n$ 成指数关系。此处 $\alpha_c := \tfrac13 (5 \sqrt{10} - 13) \approx 0.937$ 是一个具有简单解释的显式临界阈值。我们还考虑允许多次重路由尝试。这对整体行为影响甚微；它并未消除亚稳态阶段。最后，我们加入干线预留：其中预留 $\sigma$ 个电路；仅当至少有 $\sigma+1$ 个电路可用时才接受重路由尝试。我们证明若 $\sigma$ 取得足够大（仅依赖于 $\alpha$，而非 $K$ 或 $n$），则亚稳态阶段被消除。