$K_{2,t}$-子式自由图的最大展布

图 $G$ 的展布是其邻接矩阵最大与最小特征值之差。本文考虑不含 $K_{2,t}$-子式的图族。我们证明对任意 $t\geq 2$，存在整数 $\xi_t$，使得 $n$ 个顶点的 $K_{2,t}$-子式自由图的最大展布由如下图表出：将一个顶点连接到 $\lfloor \frac{2n+\xi_t}{3t}\rfloor$ 个 $K_t$ 副本与 $n-1 - t\lfloor \frac{2n+\xi_t}{3t}\rfloor$ 个孤立顶点的不交并上。该极值图唯一，除非 $t\equiv 4 \mod 12$ 且 $\frac{2n+ \xi_t} {3t}$ 为整数，此时另一极值图为将一个顶点连接到 $\lfloor \frac{2n+\xi_t}{3t}\rfloor-1$ 个 $K_t$ 副本与 $n-1-t(\lfloor \frac{2n+\xi_t}{3t}\rfloor-1)$ 个孤立顶点的不交并上。此外，我们给出了 $\xi_t$ 的显式公式。