矩阵形态与高次型复合及其在丢番图方程中的应用

本文利用满足某些线性条件的矩阵,得到复合恒等式 $f(x_i)f(y_i)=f(z_i)$,其中 $f(x_i)$ 是次数为 $n$、含 $n$ 个变量($n$ 为 $3,\,4,\,6$ 或 $8$)且具有整数系数的不可约型,而 $x_i,\,y_i,\;i=1,\,2,\,\ldots,\,n$ 是独立变量,$z_i,\;i=1,\,2,\,\ldots,\,n$ 的值由变量 $x_i,\,y_i$ 的双线性型给出。当 $n=2,\,4$ 或 $8$ 时,我们还得到复合恒等式 $f(x_i)f(y_i)f(z_i)=f(w_i)$,其中如前所述 $f(x_i)$ 是次数为 $n$、含 $n$ 个变量且具有整数系数的不可约型,而 $x_i,\,y_i,z_i,\;i=1,\,2,\,\ldots,\,n$ 是独立变量,$w_i,\;i=1,\,2,\,\ldots,\,n$ 的值由变量 $x_i,\,y_i,\,z_i$ 的三线性型给出,并且这些恒等式不能由任何 $f(x_i)f(y_i)=f(z_i)$ 型恒等式推导出来。此外,我们描述了一种为高次型获取这两类复合恒等式的方法。本文给出的复合恒等式此前未被得到。我们还得到了某些四次和八次丢番图方程 $f(x_1,\,\ldots,\,x_n)=1$ 的无穷多组正整数解,其中 $f(x_1,\,\ldots,\,x_n)$ 是容许复合恒等式的型,且 $n=4$ 或 $8$。