用于计算高效等几何$k$-方法的无矩阵加权求积
数值分析
2018-05-23 v2
摘要
-方法是以最大正则性样条（或 NURBS 等）为基础的等几何方法。当按照经典有限元方法的范式实现时，即便对于中等次数，-方法所需的 computational 资源也令人望而却步。为解决此问题，我们提出一种无矩阵策略并结合加权求积，这是一种计算 Galerkin 系统积分的特设策略。无矩阵加权求积 (MF-WQ) 加速了矩阵运算，且或许更为重要的是大幅降低了内存消耗。我们的策略还需要线性系统迭代求解器的高效预条件子。本工作中我们处理一个椭圆模型问题，并采用基于快速对角化方法的预条件子，这是求解 Sylvester 类方程的旧有思想。数值试验表明，即便对于低次，基于 MF-WQ 的等几何求解器也快于标准方法（其主要代价为标准高斯求积形成矩阵）。但主要成就是，借助 MF-WQ，给定目标精度，通过提高次数，-方法可快数个数量级。因此，我们得以展示高次 -方法相对于低次等几何离散化在计算效率上的优越性。我们在此所呈现的内容可应用于更复杂和实际的微分问题，但其有效性将取决于预条件子阶段，这正如历来依赖于具体问题。这种情形是现代高阶方法的典型特征：总体性能主要与预条件子的质量相关。
引用
@article{arxiv.1712.08565,
title = {Matrix-free weighted quadrature for a computationally efficient isogeometric $k$-method},
author = {Giancarlo Sangalli and Mattia Tani},
journal= {arXiv preprint arXiv:1712.08565},
year = {2018}
}