具有对称性的矩阵扩充与双正交多小波的构造

设$(\pP,\wt\pP)$是一对具有对称性的$r \times s$劳伦多项式矩阵，使得对所有$z\in \CC \bs \{0\}$有$\pP(z) \wt\pP^*(z)=I_\mrow$，且$\pP$和$\wt\pP$具有兼容的相同对称模式。具有对称性的双正交矩阵扩充问题是：寻找一对具有对称性的$s \times s$方阵$(\pP_e,\wt\pP_e)$，使得$[I_r, \mathbf{0}] \pP_e =\pP$和$[I_r,\mathbf{0}]\wt\pP_e=\wt\pP$（即$\pP_e,\wt\pP_e$的前$r$行子矩阵分别为给定矩阵$\pP,\wt\pP$），$\pP_e$和$\wt\pP_e$是双正交的，满足对所有$z\in \CC \bs \{0\}$有$\pP_e(z)\wt\pP_e^*(z)=I_\mcol$，且$\pP_e,\wt\pP_e$具有相同的兼容对称性。本文通过从给定矩阵对$(\pP,\wt\pP)$构造所需的扩充矩阵对$(\pP_e,\wt\pP_e)$，圆满解决了这个具有对称性的矩阵扩充问题。矩阵扩充在小波分析、电子工程、系统科学等许多领域发挥着重要作用。作为我们关于具有对称性的矩阵扩充一般结果的一个应用，通过从任意给定的具有对称性的双正交低通滤波器推导出具有对称性的高通滤波器，我们获得了一个构造对称双正交多小波的满意算法。提供了几个对称双正交多小波的例子来说明本文的结果。