退化边界层的数学研究：一个大规模海洋环流问题

本文关注当 $\mathfrak{E} \to 0$ 时，域 $\Omega\subset \mathbf{R}^2$ 上定常 Munk 方程 $\partial_x\psi-\mathfrak{E} \Delta^2 \psi=\tau$ 的完整渐近分析，并辅以 $\psi$ 和 $\partial_n \psi$ 的边界条件。该方程是闭合海盆中洋流环流的一个简单模型，变量 $x$ 和 $y$ 分别为经度和纬度。粗略分析表明，当 $\mathfrak{E} \to 0$ 时，$\psi$ 的弱极限在域内部满足所谓的 Sverdrup 输运方程，即 $\partial_x \psi^0=\tau$，同时边界附近出现边界层。这些边界层是本文的主要关注点，表现出几种类型的奇特行为。首先，东西边界上的边界层尺寸（此前已由多位作者计算过），在接近北部和南部边界部分（即法向为垂直的边界部分）时，在形式上变得非常大。这种现象被称为地转退化。为了避免这种奇异行为，先前的研究对域 $\Omega$ 和强迫项 $\tau$ 施加了限制性假设。在此，我们证明在这些点附近出现了两种边界层的叠加：经典的西边界层或东边界层，以及一些数学推导完全全新的北边界层或南边界层。南北边界层的尺寸远大于西边界层的尺寸（$\mathfrak{E}^{1/4}$ 对比 $\mathfrak{E}^{1/3}$）。我们详细解释了这种叠加是如何发生的，这取决于边界的几何形状。此外，当域 $\Omega$ 在 $x$ 方向上不连通时，$\psi^0$ 在 $\Omega$ 中不连续，并且出现奇异层以修正其不连续性。这些奇异层集中在水平线附近，因此穿透了域 $\Omega$ 的内部。因此，我们展示了一种边界层分离。然而，我们强调，我们仍然能够证明一个收敛定理，从而使得奇异层尽管发生分离，但在某种程度上保持稳定。最后，边界层的效应在几个方面是非局部的。一方面，出于代数原因，边界层方程在边界的西部和东部部分截然不同。结果是，Sverdrup 方程在东边界具有 Dirichlet 条件，而在西边界没有条件。因此，西边界层和东边界层实际上对整个域 $\Omega$ 都有影响，而不仅仅是在边界附近。另一方面，南北边界层分布服从一个传播方程，其中空间变量 $x$ 起到时间的作用，因此是非局部的。