曲面上背景场中点涡动力学作为 Euler-Arnold 流的数学证明

曲面上背景场中的点涡动力学在 de Rham 电流的意义上被证明为 Euler-Arnold 流。我们构造了带正则-奇异分解的 Euler-Arnold 方程电流值解。对该解，我们首先证明：若涡量的奇异部分由以 $q_n(t)$（$n=1,\ldots,N$）为中心的 delta 函数的线性组合给出，则 $q_n(t)$ 是点涡方程的解。反之，我们接着证明：若 $q_n(t)$ 是点涡方程（$n=1,\ldots,N$）的解，则存在带正则-奇异分解的 Euler-Arnold 方程电流值解，使得涡量的奇异部分由以 $q_n(t)$ 为中心的 delta 函数的线性组合给出。作为推论，我们将 Bernoulli 定律推广到流场为曲面且考虑点涡存在的情况。从应用角度看，该数学证明具有重要意义，因为单位球上旋转向量场中的点涡动力学被用作地球物理流的数学模型，以考虑科里奥利力对无粘流的影响。