验证 $\frac{8}{33}$ 双量子比特 Hilbert-Schmidt 可分概率及相伴有理值猜想的 Lovas-Andai 主公式与等价公式

我们首先研究 Hilbert-Schmidt 双实[al]比特和双量子比特“可分函数”的两种形式之间的关系——一种是 Lovas 和 Andai 近期提出的 (J. Phys. A 50 [2017] 295303)，另一种是 Slater 更早提出的 (J. Phys. A 40 [2007] 14279)。在 Lovas-Andai 框架中，自变量 $\varepsilon \in [0,1]$ 是 $2 \times 2$ 矩阵 $V=D_2^{1/2} D_1^{-1/2}$ 的奇异值之比 $\sigma(V)$，该矩阵由 $4 \times 4$ 密度矩阵 $D$ 的两个 $2 \times 2$ 对角块 ($D_1, D_2$) 构成。在 Slater 的设置中，自变量 $\mu$ 是对角元之比 $\sqrt{\frac{\rho_{11} \rho_{44}}{\rho_{22} \rho_{33}}}$——至关重要的是，当 $D_1$ 和 $D_2$ 自身均为对角矩阵时，有 $\mu=\varepsilon$ 或 $\mu=\frac{1}{\varepsilon}$。Lovas 和 Andai 确立了他们的双实比特“可分函数” $\tilde{\chi}_1 (\varepsilon )$ ($\approx \varepsilon$) 能导出先前猜想的 Hilbert-Schmidt 可分概率 $\frac{29}{64}$。我们能够在 Slater 框架中（使用柱形代数分解 [CAD] 来强制正性约束）重现这一结果。此外，我们新发现了它的双量子比特（导出 $\frac{8}{33}$）、双四元[ionic]比特（导出 $\frac{26}{323}$）和“双八元[ionic]比特”（导出 $\frac{44482}{4091349}$）对应情形。然后，我们找到了一个 Lovas-Andai “主公式” $\tilde{\chi_d}(\varepsilon)= \frac{\varepsilon ^d \Gamma (d+1)^3 \,_3\tilde{F}_2\left(-\frac{d}{2},\frac{d}{2},d;\frac{d}{2}+1,\frac{3d}{2}+1;\varepsilon ^2\right)}{\Gamma \left(\frac{d}{2}+1\right)^2}$，它涵盖了 $d$ 的偶数和奇数值。随后，C. Koutschan 使用他的 HolonomicFunctions 程序，推导出由若干公式的预测所满足的一个 4 阶递推关系，从而确立了它们的等价性。