鞅 Benamou--Brenier：一个概率视角

在经典最优传输中，Benamou-Brenier 和 McCann 关于该问题时间依赖版本的贡献是该领域的基石，并构成了其他数学领域中各种应用的基础。对于给定的处于凸序关系中的 $d$ 维分布 $\mu, \nu$，我们提出了一种 Benamou-Brenier 类型的鞅传输问题公式化。该问题的唯一解 $M^*=(M_t^*)_{t\in [0,1]}$ 是一个 Markov-鞅，它具有几个显著性质：在特定意义下，它在满足条件 $M^*_0\sim\mu, M^*_1\sim \nu$ 的约束下尽可能紧密地模仿 Brown 粒子的运动。类似于 McCann 的位移插值，$M^*$ 提供了 $\mu$ 和 $\nu$ 之间的时间一致性插值。对于初始分布和终端分布的特定选择，$M^*$ 恢复了原型鞅，例如 Brown 运动、几何 Brown 运动和 Bass 鞅。此外，它给出了局部波动率模型的一种自然逼近以及 Kellerer 定理的一种新途径。本文与 Huesmann-Trevisan 的工作平行，他们从 PDE 导向的视角考虑了一类相关问题。