马尔可夫切片Wasserstein距离：超越独立投影

切片Wasserstein（SW）距离由于独立的均匀随机投影方向而存在冗余投影问题。为部分克服该问题，最大K切片Wasserstein（Max-K-SW）距离（$K\geq 1$）寻求最具判别力的正交投影方向。尽管能够减少投影数量，但由于优化的非最优性，Max-K-SW的度量性在实践中无法保证。此外，正交约束计算代价高昂且可能并不有效。为解决该问题，我们引入一类新的SW距离，称为马尔可夫切片Wasserstein（MSW）距离，其对投影方向施加一阶马尔可夫结构。我们通过指定马尔可夫结构（包括先验分布、转移分布以及老化与稀释技术）讨论了MSW的多种成员。此外，我们研究了MSW的理论性质，包括拓扑性质（度量性、弱收敛及与其他距离的联系）、统计性质（样本复杂度与蒙特卡洛估计误差）和计算性质（计算复杂度与内存复杂度）。最后，我们在梯度流、颜色迁移和深度生成建模等多种应用中将MSW距离与以往的SW变体进行比较，以展示MSW的优越性能。