紧度量图上高斯随机场的马尔可夫性质

近来，关于线性网络以及更一般地紧度量图上的高斯场引起了广泛关注。在度量图 $\Gamma$ 上定义此类场的一种策略是通过图上某度量下各向同性的协方差函数。另一种是通过 $\Gamma$ 上的分数阶微分方程 $L^{\alpha/2} (\tau u) = \mathcal{W}$，其中 $L = \kappa^2 - \nabla(a\nabla)$（对足够好的函数 $\kappa, a$），且 $\mathcal{W}$ 为高斯白噪声。我们研究这两类场的马尔可夫性质。首先，我们证明在一般度量图上不存在既各向同性又马尔可夫的高斯随机场。接着，我们证明第二类场，即广义 Whittle–Matérn 场，在 $\alpha\in\mathbb{N}$ 时是马尔可夫的；反之，若 $a$ 和 $\kappa$ 为常数且 $u$ 为马尔可夫，则 $\alpha\in\mathbb{N}$。进一步，若 $\alpha\in\mathbb{N}$，广义 Whittle–Matérn 场 $u$ 是 $\alpha$ 阶马尔可夫的，这意味着区域 $S\subset\Gamma$ 内的场 $u$ 在给定 $\partial S$ 上 $u$ 及其 $\alpha-1$ 阶导数值的条件下，与 $\Gamma\setminus S$ 中的 $u$ 条件独立。最后，作为所发展理论的推论，我们给出两个结果：首先证明马尔可夫性质隐含了 $u$ 在固定边 $e$ 上的显式刻画，揭示在给定与 $e$ 相连两顶点值条件下 $u$ 在 $e$ 上的条件分布与 $\Gamma$ 的几何无关；其次，我们证明 $\Gamma$ 上 $L^{1/2}(\tau u) = \mathcal{W}$ 的解可通过在边上以 $\alpha=1$ 和诺伊曼边界条件对独立的广义 Whittle–Matérn 过程进行连续 conditioning 得到。