随机标记树中垂直边缘轮廓的马尔可夫性质

我们研究了一类广义随机标记树，其中整数值的标签沿边缘根据 $\{-1, 0, 1\}$ 中的增量演化。这类模型包括分支随机游走、嵌入的完整和不完整二叉树、带有均匀位移的随机 Cayley 树和平面树等。针对最近表明此类树垂直轮廓具有马尔可夫结构的研究动机，我们引入了垂直边缘轮廓，其计数包括连接标签 $k-1$ 到标签 $k$ 的定向边以及连接标签 $k$ 到标签 $k-1$ 的定向边。我们证明，对于广泛的模型，垂直边缘轮廓形成时齐马尔可夫链，即使在条件化于树总大小的情况下，只要丰富该过程以每个标签以下的树总质量，也如此。我们给出了标记不完整二叉树案例中的显式转移核函数，这些核函数与已知的枚举公式密切相关。为建立这些结果，我们研究了将标记树分解为固定标签水平以上和以下的峡谷，由此得到一种可求解概率律的森林结构。我们进一步简要说明了这些发现如何联系到超布朗运动理论以及积分超布朗峡谷 (Integrated Super-Brownian Excursion, ISE)。在另一篇论文中，我们将证明垂直边缘轮廓在尺度化后收敛于布朗运动的局部时间及其导数的布朗树。