光滑 Banach 空间与 Gromov 双曲度量空间中的马尔可夫链
泛函分析
2016-09-07 v1 概率论
摘要
若对任意可逆有限状态马尔可夫链 {Z_t}（其中 Z_0 按平稳分布选取）以及从状态空间到 X 的任意映射 f，从 f(Z_0) 到 f(Z_t) 的距离 D_t 对某个 K=K(X)<∞ 满足 E(D_t^2) ≤ K^2 t E(D_1^2)，则称度量空间 X 具有马尔可夫型 2。该概念由 K. Ball (1992) 提出，他揭示了其对 Lipschitz 延拓问题的重要性。然而迄今为止，仅知 Hilbert 空间（及其双 Lipschitz 等价空间）具有马尔可夫型 2。我们证明每个具有 2 次幂型光滑模的 Banach 空间（特别是 p>2 的 L_p）都具有马尔可夫型 2；这证明了 Ball 的一个猜想。我们还证明树、双曲群以及截面曲率为负且被夹逼的的单连通 Riemannian 流形具有马尔可夫型 2。我们的结果被用于解决关于 Lipschitz 延拓与嵌入的几个猜想。特别地，我们通过证明对于 1<q<2<p<∞，从 L_p 的子集到 L_q 的任意 Lipschitz 映射都存在定义在整个 L_p 上的 Lipschitz 延拓，回答了 Johnson 与 Lindenstrauss 于 1982 年提出的一个问题。
引用
@article{arxiv.math/0410422,
title = {Markov chains in smooth Banach spaces and Gromov hyperbolic metric spaces},
author = {Assaf Naor and Yuval Peres and Oded Schramm and Scott Sheffield},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0410422},
year = {2016}
}
备注
27 pages