Daniell平滑周期图的Marchenko-Pastur律

给定来自 $d$ 维平稳时间序列 $(X_t)_{t \in \mathbb{Z}}$ 的样本 $X_0,...,X_{n-1}$，在给定频率 $\theta \in [0,2\pi)$ 处最常用的谱密度矩阵 $F(\theta)$ 估计量是Daniell平滑周期图 $$S(\theta) = \frac{1}{2m+1} \sum\limits_{j=-m}^m I\Big( \theta + \frac{2\pi j}{n} \Big) \ ,$$ 它是 $2m+1$ 个在略微扰动频率处的周期图的平均值。我们证明，当 $d$ 和 $m$ 随 $n$ 增长使得 $\frac{d}{m} \rightarrow c>0$ 且 $d\asymp n^{\alpha}$ 对于某个 $\alpha \in (0,1)$ 时，Marchenko-Pastur律对 $S(\theta)$ 的特征值在 $\theta \in [0,2\pi)$ 上一致成立。这表明高维效应可能导致 $S(\theta)$ 变得不一致，即使当维度 $d$ 远小于样本量 $n$ 时也是如此。值得注意的是，我们不假设时间序列的 $d$ 个分量独立。因此，即使对于相同过程的样本自协方差矩阵不一定成立，Marchenko-Pastur律对于Daniell平滑周期图也成立。