$\mathcal{P}(\omega)/\mathit{fin}$ 的众多子代数

为回答 Mathoverflow 上的一个提问，我们证明布尔代数 $\mathcal{P}(\omega)/\mathit{fin}$ 包含一个子代数族 $\{\mathcal{B}_X:X\subseteq\mathfrak{c}\}$，其性质为：$X\subseteq Y$ 蕴含 $\mathcal{B}_Y$ 是 $\mathcal{B}_X$ 的子代数，而若 $X\not\subseteq Y$ 则 $\mathcal{B}_Y$ 不能嵌入到 $\mathcal{B}_X$ 中。证明通过 Stone 对偶性以及构造一组合适的可分零维紧空间来完成。