许多(大多数?)列子集选择准则在选取少量列时是 NP 困难的

我们考虑从实数 $m\times n$ 矩阵 $A$ 中选取 $k$ 个代表性列的多种准则,所选列数足够少,即 $1\le k\le \min\{\mathrm{rank}(A), m/3\}$。这些准则包括以下优化问题:绝对体积与 $S$-最优性的最大化;在 2-范数、Frobenius 范数与 Schatten $p$-范数($p>2$)下的范数、伪逆范数与条件数的最小化;稳定秩的最大化;以及新的相对体积最大化准则(其与条件数的某次幂成反比)。我们证明这些准则是 NP 困难的,并且其中许多不存在多项式时间近似方案(PTAS)。为将这些优化问题表述为判定问题,我们推导了子集选择准则的最优值,以及分块伪逆的表达式。关于 Frobenius 范数下伪逆最小化的结果可应用于 $A$-最优设计中的迹优化。