仿射根系上的 Macdonald 分母、正交 theta 函数与椭圆行列式点过程

Rosengren 与 Schlosser 引入了七类不可约约化仿射根系 ${\it R}_N={\it A}_{N-1}$、${\it B}_{N}$、${\it B}^{\vee}_N$、${\it C}_{N}$、${\it C}^{\vee}_N$、${\it BC}_{N}$、${\it D}_{N}$（$N \in \mathbb{N}$）的 ${\it R}_N$-theta 函数概念，并给出了 Macdonald 分母公式。我们证明，若 ${\it R}_N$-theta 函数的变量按 $N$ 适当缩放，则它们构造出七组双正交函数，每组均具有连续参数 $t \in (0, t_{\ast})$（给定 $0< t_{\ast} < \infty$）。遵循随机矩阵理论中的标准方法，我们引入了一维上七类单参数（$t \in (0, t_{\ast})$）行列式点过程族，其相关核由双正交 theta 函数表示。我们证明它们是经典行列式点过程的椭圆推广，后者相关核由三角与有理函数表示。在关联于 $N \to \infty$ 的缩放极限中，我们得到四类具有无穷多点及参数 $t \in (0, t_{\ast})$ 的椭圆行列式点过程。我们利用非碰撞布朗路径的 Karlin--McGregor--Lindstr\"om--Gessel--Viennot 行列式给出了 Macdonald 分母的新表达式，并展示了相关椭圆行列式点过程作为具有时长 $t_{\ast}$ 的非碰撞布朗新娘的实现，其由 $t=0$ 与 $t=t_{\ast}$ 时刻的钉扎构型所确定。