几何 Ramsey 函数的下界

我们延续了一系列近期工作，研究 $\mathbb{R}^d$ 中半代数谓词的 Ramsey 函数。$\mathbb{R}^d$ 上的 $k$ 元半代数谓词 $\Phi(x_1,\ldots,x_k)$ 是关于 $k$ 个点 $x_1,\ldots,x_k\in\mathbb{R}^d$ 的 $kd$ 个坐标的多项式方程和不等式的布尔组合。若对于所有选择 $1\le i_1 < \cdots < i_k\le n$，$\Phi(p_{i_1}, \ldots,p_{i_k})$ 要么恒成立，要么恒不成立，则称 $\mathbb{R}^d$ 中的点序列 $P=(p_1,\ldots,p_n)$ 为 $\Phi$-齐次的。Ramsey 函数 $R_\Phi(n)$ 是使得任意长度为 $N$ 的点序列都包含一个长度为 $n$ 的 $\Phi$-齐次子序列的最小 $N$ 值。Conlon、Fox、Pach、Sudakov 和 Suk 构造了首批 Ramsey 函数具有任意高度塔函数下界的半代数谓词实例：对于每个 $k\ge 4$，他们在维度 $2^{k-4}$ 中展示了一个 $k$ 元谓词 $\Phi$，其 $R_\Phi$ 的下界为高度 $k-1$ 的塔函数。我们降低了他们构造中的维度，获得了定义在 $\mathbb{R}^{k-3}$ 上的 $k$ 元半代数谓词 $\Phi$，其 $R_\Phi$ 的下界为高度 $k-1$ 的塔函数。我们还提供了一个具有较大 Ramsey 函数的自然几何 Ramsey 型定理。若 $\mathbb{R}^d$ 中点序列 $P$ 的所有 $(d+1)$ 元组具有相同的定向，则称该序列为序型齐次的。$\mathbb{R}^d$ 中处于一般位置的任意足够长的点序列都包含一个长度为 $n$ 的序型齐次子序列，相应的 Ramsey 函数近期已在多篇论文中被研究。结合 B\'ar\'any、Matou\v{s}ek 和 P\'or 的近期工作，我们的结果意味着高度为 $d$、阶为 $\Omega(n)$ 的塔函数作为下界，这与 Suk 给出的上界仅在 $n$ 前的常数因子上有所不同。