平面图与无minor图的低树宽嵌入

Cohen-Addad、Filtser、Klein 与 Le [FOCS'20] 构造了直径为 $D$ 的无 minor 图到树宽 $O_{\epsilon}(\log n)$ 的图的一种随机嵌入，其期望加性失真为 $+\epsilon D$。Cohen-Addad 等人随后利用该嵌入设计了容量约束车辆路径问题的首个拟多项式时间近似方案（QPTAS）。Filtser 与 Le [STOC'21] 以不同方式使用该嵌入，为无 minor 图中的度量 Baker 问题设计了 QPTAS。本文中，我们提出一种新的嵌入技术，将 Cohen-Addad 等人的树宽界指数级改进至 $O_{\epsilon}(\log\log n)^2$。作为推论，我们获得了无 minor 图中容量约束车辆路径问题的首个高效 PTAS。我们还将无 minor 图中度量 Baker 问题的 QPTAS 运行时间从 $n^{O_{\epsilon}(\log(n))}$ 显著改进至 $n^{O_{\epsilon}(\log\log(n))^3}$。将我们的嵌入技术应用于平面图，我们得到了直径为 $D$ 的平面图到树宽 $O((\log\log n)^2)/\epsilon)$、加性失真 $+\epsilon D$ 的确定性嵌入，且该嵌入可在近似线性时间内构造。我们结果的重要推论包括度量 Baker 问题的双准则 PTAS 以及平面图中带容量约束的车辆路径问题的 PTAS，二者均在近似线性时间内运行。我们算法的运行时间显著优于此前需要二次时间的相关算法。我们嵌入中的一个关键思想是为树宽 $O(\log\log n)$、跳数直径 $O(\log \log n)$ 的树度量构造一个（精确）仿真器（emulator）。该结果可能具有独立意义。