低相位秩逼近
环与代数
2020-12-01 v1 系统与控制
系统与控制
最优化与控制
摘要
本文提出并求解一个低相位秩逼近问题,其作为著名的低秩逼近问题与 Schmidt-Mirsky 定理的对应物。更具体地,一个非零复数可由其增益与相位指定,尽管通常认为矩阵的增益可由其奇异值定义,但其相位尚无广泛接受的定义。本工作中,我们考虑扇形矩阵(其数值范围不含原点),并采用此类矩阵的典范角作为它们的相位。类似于将矩阵的秩定义为其非零奇异值的个数,我们将扇形矩阵的相位秩定义为其非零相位的个数。低秩逼近问题与矩阵算术平均相关联,作为自然的平行,我们利用矩阵几何平均来度量逼近误差,从而表述一个低相位秩逼近问题。随后在目标矩阵与逼近矩阵均限制为正虚数时,获得了所提问题解的一个刻画。且所得解与低秩逼近问题的 Schmidt-Mirsky 定理具有相同的风味。此外,我们给出了使用扇形矩阵间测地距离的替代低相位秩逼近表述。当所涉矩阵额外假定为酉矩阵时,两种表述给出完全相同的解集。
引用
@article{arxiv.2011.14811,
title = {Low Phase-Rank Approximation},
author = {Di Zhao and Axel Ringh and Li Qiu and Sei Zhen Khong},
journal= {arXiv preprint arXiv:2011.14811},
year = {2020}
}
备注
This paper has been submitted to Linear Algebra and Its Applications (LAA)