Reed-Solomon编码数据的线性函数的低带宽恢复

我们研究对编码数据进行高效计算的问题。更具体地，我们研究在给定数据 $x \in \mathbb{F}^k$ 的某种纠错码编码 $c \in \mathbb{F}^n$ 的情况下，低带宽计算函数 $F:\mathbb{F}^k \to \mathbb{F}$ 的问题。在我们的模型（与分布式存储、分布式计算和秘密共享相关）中，$c$ 的每个符号由不同参与方持有，我们的目标是最小化从各参与方下载以计算 $F(x)$ 的总信息量。该问题的特例已在多个领域出现，我们认为从一般角度研究此问题颇有裨益。我们的主要成果是针对 Reed-Solomon 码计算线性函数的低带宽方案，即便存在删除时也适用。更精确地，令 $\epsilon > 0$，令 $\mathcal{C}: \mathbb{F}^k \to \mathbb{F}^n$ 为特征为常数的域 $\mathbb{F}$ 上码率 $1 - \epsilon$ 的全长 Reed-Solomon 码。对于任意 $\gamma \in [0, \epsilon)$，我们的方案可在访问 $\mathcal{C}(x)$ 任意 $(1 - \gamma)$ 比例符号的情况下计算任意线性函数 $F(x)$，下载带宽为 $O(n/(\epsilon - \gamma))$ 比特。相比之下，先重构数据 $x$ 再计算 $F(x)$ 的朴素方案使用 $\Theta(n \log n)$ 比特。我们的方案在分布式存储、编码计算和同态秘密共享中有应用。