Love–Lieb 积分方程：应用、理论、逼近与计算

本文主要关注看似简单的积分方程 $$u(x) - \frac{1}{\pi}\int_{-1}^{1} \frac{\alpha\, u(y)}{\alpha^2+(x-y)^2} \, \rd y = 1, \quad -1 \leq x \leq 1,$$ 其中 $\alpha$ 为实非零参数，$u$ 为未知函数。该方程被归类为具有连续核的第二类 Fredholm 积分方程。因此，它属于一类已有完善理论的方程。理论表明恰存在一个连续的实解 $u$。尽管该解无闭式表达，但可利用多种方法数值计算。若非该积分方程在经典与量子物理的若干情境中自然出现，上述一切仅属奇趣。我们综述有关这些应用的文献，调查主要的解析与数值工具，并研究构造近似解的方法。我们还考虑了当右端常数被给定函数替代时的同一积分方程。