所有同位中指数为三的拟群

van Rees \cite{vR} 证明了$n$阶拉丁方最多有$n^2(n-1)/18$个3阶拉丁子方。他猜想该上界仅在$n$为3的幂时达到。我们证明它仅在$n\equiv3\bmod6$时可能达到。我们还陈述了与达到van Rees界等价的若干条件。其中之一是：一个拟群的凯莱表达到van Rees界当且仅当该拟群的每个同位都具有指数3。我们将此类拟群称为van Rees拟群，并证明它们构成一个由等式定义的簇。我们还证明了：(1) 在van Rees拟群中，任何指数为3的子拟群都是正规的；(2) 存在恰好6个27阶的非结合van Rees拟群具有非平凡核，以及至少1个所有核均为平凡的；(3) 每个交换van Rees拟群都具有弱逆性质；(4) 对于每个van Rees拟群，存在一个关联的斯坦纳拟群族。