环路狭义相对论：作为弦事件线元的 Kaluza-Klein 面积度量

假设一个物理事件在时空中构成一个简单环路。这进而要求一个广义的环路线元（= 两个相邻环路之间的距离$^2$），能够在环路收缩极限下，恢复狭义相对论线元（= 分别为两个相邻质心之间的距离$^2$）。首先局限于平坦的欧几里得/闵可夫斯基背景，可以导出这样一个初步的环路线元，其中坐标的角色由环路事件投影的有向截面积承担。这些截面积通常与质心无关，除非（由于拓扑项的作用）环路事件本质上缠绕在类似 Kaluza-Klein 的紧致第五维上。令人意外的是，正是 Kaluza-Klein 这一要素，除了其传统作用外，被证明支配着勾股定理向环路空间的扩展。与 $M_4 \otimes S_1$ 相关联的是一个 10 维环路时空度量，其 4 维质心核心项由 6 维 Maxwell 式精细结构补充。在环路狭义相对论框架内必须包含正的（例如 Nambu-Goto）弦张力，这由低周期性呼吸模式所标示。猜想 Nash 全局等距嵌入在环路广义相对论的构造中起主要作用。