一个小范畴的环路空间同调

在 2009 年的一篇论文中，Dave Benson 用纯代数术语描述了当 $G$ 为有限群、$BG^\wedge_p$ 为其分类空间的 $p$-完备化、且 $\Omega(BG^\wedge_p)$ 为 $BG^\wedge_p$ 的环路空间时，$\Omega(BG^\wedge_p)$ 的 mod $p$ 同调。这项工作的主要目的通过将 Benson 的结果推广到更一般的情形来对其提供新的见解。作为一个特例，我们证明若 $\mathcal{C}$ 是一个小范畴，$|\mathcal{C}|$ 为其神经的几何实现，$R$ 是一个交换环，且 $|\mathcal{C}|^+_R$ 是 Quillen 意义下（关于 $R$-同调取）的 $|\mathcal{C}|$ 的“加构造”，则 $H_*(\Omega(|\mathcal{C}|^+_R);R)$ 可描述为满足某一确定其链同伦唯一性的代数条件清单的投射 $R\mathcal{C}$-模链复形的同调。Benson 的定理现在是 $\mathcal{C}$ 为有限群 $G$ 的范畴、$R=\mathbb{F}_p$（$p$ 为某素数）且 $|\mathcal{C}|^+_R=BG^\wedge_p$ 的情形。