退化扩散过程的长时间行为：UFG型随机微分方程与非自治亚椭圆过程

我们研究了 $R^N$ 上由（可能）退化型二阶微分算子生成的一大类扩散过程的长时间行为。我们所考虑的算子{\em 不必}满足 H"ormander 条件。相反，它们满足所谓的 UFG 条件，该条件由 Herman、Lobry 和 Sussman 在几何控制理论背景下引入，后来由 Kusuoka 和 Stroock 引入，这次是出于概率动机。在本文中，我们研究 UFG 扩散，并从几个方面展示此类过程的重要性：粗略地说，i) 我们表明 UFG 过程构成一类表现出多个不变测度且能够描述确定每个不变测度（平衡态）吸引域的系统化步骤的 SDE。ii) 我们使用显式坐标变换证明，每个 UFG 扩散至少在局部可表示为一个由 SDE 与 ODE 耦合组成的系统，其中 ODE 独立于动力学的 SDE 部分演化。iii) 因此，UFG 扩散本质上比亚椭圆 SDE “光滑性更差”；更确切地说，我们证明 UFG 过程在整个空间上不承认关于 Lebesgue 测度的密度，而仅在我们所描述的一类随时间演化的子流形上承认。iv) 我们表明，我们为 UFG 过程设计的结果与技术可用于研究非自治亚椭圆 SDE 的长时间行为，从而对此后一类过程也产生若干结果。v) 由于满足（一致）抛物型 H"ormander 条件的过程是 UFG 过程，我们的论文包含了大量关于（一致）亚椭圆过程长时间行为的结果，这些过程是非遍历的，即它们表现出多个不变测度。