多于两组观测时单因素 ANOVA 与 Tukey-Kramer 多重比较检验中的逻辑矛盾

我们证明单因素 ANOVA 与 Tukey-Kramer（TK）检验在任意两组样本上结论一致。该结果基于连接 Fisher-Snedecor 与学生化概率分布的简单恒等式，且无需任何额外假设即可证明；特别地，不需要标准 ANOVA 假设（独立性、正态性、同方差性（INAH））。相反，已知对于含 k > 2 组观测的样本，即使在 INAH 假设下，以相同显著性水平 $\alpha$，上述两种检验可能给出相反结果：(i) ANOVA 拒绝其原假设 $H_0^{A}: \mu_1 = \ldots = \mu_k$，而 TK 原假设 $H_0^{TK}(i,j): \mu_i = \mu_j$ 对任意一对 $i, j \in \{1, \ldots, k\}$ 均未被拒绝；(ii) TK 检验拒绝某一对 $(i, j)$（其中 $i \neq j$）的 $H_0^{TK}(i,j)$，而 ANOVA 未拒绝 $H_0^{A}$。我们构造了满足 INAH 的这两类样本的两个大型无限伪随机族：情形 (i) 对任意 $k \geq 3$，情形 (ii) 对某个更大的 $k$。此外，在情形 (ii) 中，ANOVA 若限定于两组 $(i,j)$，可能以相同 $\alpha$ 拒绝 $\mu_i = \mu_j$。这是明显的矛盾，因为 $\mu_1 = \ldots = \mu_k$ 蕴含对所有 $i, j \in \{1, \ldots, k\}$ 有 $\mu_i = \mu_j$。对多元线性回归（MLR）也构造了类似的矛盾示例。然而，对于这些构造，似乎难以验证 MLR 标准所需的 Gauss-Markov 假设。