随机$G_\delta$集的对数容量

我们研究区间$[0,1]$的$G_\delta$子集的对数容量。令$S$形如\begin{align*} S=\bigcap_m \bigcup_{k\ge m} I_k, \end{align*}其中每个$I_k$是$[0,1]$中长度为$l_k$且递减趋于$0$的区间。我们给出$S$具有满容量即$\mathop{\mathrm{Cap}}(S)=\mathop{\mathrm{Cap}}([0,1])$的充分条件。我们考虑区间呈指数衰减并按某种给定分布随机放置在$[0,1]$中的情形。该分布生成的随机$G_\delta$集几乎必然满足我们的充分条件，因此几乎必然具有满容量。该研究的动机来自随机矩阵乘积 Furstenberg 定理参数版本中例外能量的$G_\delta$集。我们还研究了由将区间递减速度设为$l_k=e^{-k^\alpha}$生成的$G_\delta$集族$\{S(\alpha)\}_{\alpha>0}$。我们观察到通过变化$\alpha>0$从满容量到零容量的急剧转变。