具平坦生成器的局部 finitely resents Grothendieck 范畴
范畴论
2025-12-23 v2 代数几何
环与代数
表示论
摘要
2007 年，Cuadra 与 Simson 提出一个问题：局部 finitely resents 的 Grothendieck 范畴若拥有足够的平坦对象，是否也必然拥有足够的极限？本文从一个关键观察出发：局部 finitely resents 的 Grothendieck 范畴拥有足够的平坦对象，当且仅当其拥有准射的乘积。这使我们能够识别若干等价的重新表述，进而确定一个反例（从而对该问题给出否定答案），同时将其与 1975 年 Miller 提出的经典环论问题相联系，甚至与紧凑生成的三角范畴的望远镜猜想相联系。此外，我们描述了若干类 Grothendieck 范畴，其中该问题可得到肯定答案。例如，我们证明：若局部 finitely resents 的 Grothendieck 范畴中有限生成对象的范畴满足 Krull--Schmidt 定理，则该范畴拥有足够的平坦对象当且仅当其由有限生成极限的族生成。
引用
@article{arxiv.2508.00670,
title = {Locally finitely presented Grothendieck categories with a flat generator},
author = {Lorenzo Martini and Carlos E. Parra and Manuel Saorín and Simone Virili},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.00670},
year = {2025}
}
备注
47 pages