具有参数化演化的局域度规

我们给出 GR 的一个正则哈密顿表述，其中系统演化参数 $\tau$ 在时空之外，扮演着类似于我们在非相对论力学中所称时间的作用。这种方法被称为 Stueckelberg-Horwitz-Piron (SHP) 理论，它继承了经典分析力学的全部计算能力，同时保持显协变性，并消除与广义微分同胚不变性可能的冲突。特别地，SHP 简化了初值问题，在诸如黑洞碰撞等高度动力学相互作用中具有潜在应用。通过允许能量-动量张量与度规显式依赖于 $\tau$，我们可以用测地线形式描述在动力学演化的背景度规上的粒子运动。作为一个玩具模型，我们考虑一个 $\tau$-依赖的质量 $M(\tau)$，先作为牛顿近似中的微扰，然后用于类 Schwarzschild 度规。正如预期，扩展的 Einstein 方程意味着非零的能量-动量张量，正比于 $dM / d\tau$，表示质量与能量流入时空，对应于变化的源质量。在 $\tau$-平衡时，该系统成为广义 Schwarzschild 解，其扩展 Ricci 张量与能量-动量张量均消失。