过完备字典的局部识别

本文首次给出了理论结果，表明从稀疏度水平高达$O(\mu^{-2})$且信噪比高达$O(\sqrt{d})$的训练信号中，局部稳定识别过完备$\mu$-相干字典$\Phi \in \mathbb{R}^{d\times K}$是可能的。特别地，字典可以作为新的最大化准则（推广了K-means准则）的局部最大值恢复。对于该最大化准则，提供了稀疏度高达$O(\mu^{-1})$的渐近精确恢复结果，以及稀疏度高达$O(\mu^{-2})$且信噪比高达$O(\sqrt{d})$的稳定恢复结果。这些渐近结果转化为有限样本恢复结果，只要样本量$N$按$O(K^3dS \tilde \varepsilon^{-2})$缩放，其中恢复精度$\tilde \varepsilon$可以低至渐近可实现的精度。此外，为了实际找到新准则的局部最大值，提出了一种非常简单的迭代阈值和K（有符号）均值算法（ITKM），每次迭代复杂度为$O(dKN)$，并通过几个实验证明了其局部效率。