广义 Okamoto-Painlevé 对的局部上同调与 Painlevé 方程

在 Okamoto-Painlevé 对 (S,Y) 的形变理论中，局部上同调群 $H^1_D(\Theta_S(-\log D))$ 起着重要作用。本文估计了几类对 (S,Y) 的局部上同调群，并得到如下结果。对于对应于 Painlevé 方程初始条件空间的对 (S,Y)，我们证明局部上同调群 $H^1_D(\Theta_S(-\log D))$ 至少是一维的。这一事实是理解与 (S,Y) 相关的 Painlevé 方程的关键。此外，我们证明对于类型 $\tilde{A_8}$ 的对 (S,Y)，局部上同调群 $H^1_D(\Theta_S(-\log D))$ 消失。因此在这种情况下，在该理论意义下 S-Y 上不存在微分方程。