卡方过程的局部与一致连续模

设 $\eta=\{\eta(t);t\in [0,1]\}$ 为均值零的连续高斯过程，协方差为 $U=\{U(s,t),s,t\in [ 0,1]\},$ 且 $U(0,0)>0$。设 $\{\eta_{i};i=1,\ldots, k\}$ 为 $\eta$ 的独立副本，并令 $Y_{k}(t)=\sum_{i=1}^{k} \eta^2_{i}(t), t\in [ 0,1].$ 随机过程 $Y_{k } =\{Y_{k }(t),t\in [ 0,1] \}$ 称为核为 $U$ 的 $k$ 阶卡方过程。设 $\phi(t)$ 为某 $\delta>0$ 时在 $[0,\delta]$ 上的正函数。若 $$\limsup_{t\to 0}\frac{ \eta(t)-\eta(0)}{ \phi(t) }=1 \qquad a.s.,$$ 则对所有整数 $k\ge 1$， $$\limsup_{t\to 0} \frac{Y_{k }(t)-Y_{k }(0)} { \phi (t)} = 2 Y^{1/2}_{k}(0) \qquad a.s.$$ 令 $$\sigma^2(u,v)=E(\eta(u)-\eta(v))^2\quad\text{and}\quad \widetilde\sigma^2(x)=\sup_{|u-v|\le x}\sigma^2(u,v).$$ 假设 $\inf_{t\in [0,1]}U(t,t)>0$ 且 $$\lim_{x\to0}\widetilde\sigma^2(x)\log 1/x =0.$$ 设 $\varphi(t)$ 为 $[0,1]$ 上的正函数。则若对所有区间 $\Delta\subset [0,1]$ 有 $$\lim_{h\to 0}\sup_{\stackrel{|u-v|\le h }{ u,v\in\Delta}}\frac{ \eta(u)-\eta(v)}{ \varphi(|u-v|) }=1 \qquad a.s.$$ 则对所有区间 $\Delta\subset [0,1]$ 与所有整数 $k\ge 1$， $$\lim_{h\to 0}\sup_{\stackrel{|u-v|\le h }{ u,v\in\Delta}} \frac{Y_{k }(u)-Y_{k }(v) }{ \varphi (|u-v|)} = 2 \sup_{u\in\Delta}Y_{k }^{1/2}(u), \hspace{.2 in}a.s.$$