反馈顶点集的线性时间核化

在本文中，我们提出一种算法，给定具有 $m$ 条边的无向图 $G$ 和整数 $k$，该算法在 $O(k^4 m)$ 时间内计算图 $G'$ 和整数 $k'$，使得 (1) 图 $G'$ 的大小为 $O(k^2)$，(2) $k'\leq k$，且 (3) $G$ 具有大小不超过 $k$ 的反馈顶点集当且仅当 $G'$ 具有大小不超过 $k'$ 的反馈顶点集。这是针对反馈顶点集的第一个线性时间多项式大小核。我们的核大小为 $2k^2+k$ 个顶点和 $4k^2$ 条边，小于先前最优的 $4k^2$ 个顶点和 $8k^2$ 条边。因此，我们同时改进了核的大小和运行时间。我们注意到，在 $\mathrm{NP}\not\subseteq\mathrm{coNP}/\mathrm{poly}$ 的假设下，对于任意 $\epsilon>0$，反馈顶点集不存在 $O(k^{2-\epsilon})$ 大小的核。我们的核利用了 $k$-子模松弛，这是近年来为各类问题获取高效 FPT 算法而开发的技术。反馈顶点集的 $k$-子模松弛的对偶可视为 $A$-路径打包的半整数变体，为获得线性时间复杂度，我们针对此问题提出了一种高效的增广路径算法。我们相信该组合算法具有独立意义。基于所提方法的求解器在首届参数化算法与计算实验（PACE）挑战赛中荣获第一名。