在 $O^\star(2.7^k)$ 时间内检测大小为 $k$ 的反馈顶点集

在反馈顶点集问题中，给定一个无向图 $G$ 和一个整数 $k$，需要确定是否存在一个大小为 $k$ 的与 $G$ 的所有圈都相交的顶点集（即所谓的反馈顶点集）。反馈顶点集是参数化复杂性中最核心的问题之一：它作为该领域许多重要算法技术的优秀试验台，如迭代压缩 [Guo 等人 (JCSS'06)]、随机分支 [Becker 等人 (J. Artif. Intell. Res'00)] 和 Cut&Count [Cygan 等人 (FOCS'11)]。特别地，对于类型 $O^\star(f(k))$ 的运行时间中最小的依赖因子 $f(k)$ 的竞赛由来已久，其中 $O^\star$ 记号忽略 $n$ 的多项式因子。这场竞赛似乎在 2011 年就已结束，当时引入了基于 Cut&Count 的 $O^\star(3^k)$ 时间随机算法。在本文中，我们证明了相反的情况，并给出了一个 $O^\star(2.7^k)$ 时间的随机算法。我们的算法结合了所有上述技术与实质性的新思路：首先，我们证明，给定一个有界平均度的规模为 $k$ 的反馈顶点集，可以在多项式时间内找到宽度为 $(1-\Omega(1))k$ 的树分解。其次，我们给出了一个受 [Becker 等人 (J. Artif. Intell. Res'00)] 启发的随机分支策略，以归约到前述有界平均度设定。第三，我们通过采用快速矩阵乘法获得了显著的运行时间改进。